Electronics and Informatics / Measurement of AC Voltage and Current
Measurement of AC Voltage and Current
1. 목적
교류파형을 오실로스코프, 교류 계기를 이용하여 측정하고, 정현파 교류 및 비정현파 교류의 실효값, 평균값에 대한 개념을 파악하는 것을 목적으로 한다. 또한, 교류 계기의 주파수 특성을 알아본다.
2. 이론
교류란, 전압 또는 전류의 값과 방향이 시간에 따라 주기적으로 변화하는 것을 말한다. 교류의 크기를 정하는 양으로서는 최대값(피크값), 실효값, 평균값 등이 있다.
실효값은 전류의 순시값$(e, i)$의 제곱의, 한 주기$(T)$의, 평균값의, 평방근으로 정의된다. 즉, 교류전압, 전류의 실효값을 각각 $E$, $I$라고 하면 정의 따른 다음식에 의해 구해진다.
\[E=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{2} d t}\]$[1]$
\[I=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t}\]$[2]$
교류파형의 여하를 불문하고 교류전압 또는 전류의 크기는 $[1]$, $[2]$식에 의해 정의된 실효값을 나타내는 것이 보통이다. 일반적인 교류 계기에서는 이 실효값으로 눈금을 새긴다.
여기에서 특히 정현파 교류에 대해 생각해보자. 전류의 순시값을 $i$, 최대값을 $I_m$, 각주파수를 $w$, 시간을 $t$라고 하면
\[i=I_{m} \sin \omega t\]$[3]$
또한, 주파수를 $f$, 주기를 $T$라고 하면, $\omega=2 \pi f=2 \pi / T$가 된다. 따라서, $[2]$식에 따른 전류의 실효값 $I$는
\[I=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{m}^{2} \sin ^{2} \omega t d t}=\sqrt{\frac{I_{m}^{2}}{T} \int_{0}^{T} \frac{1-\cos 2 \omega t}{2} d t}=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \approx 0.717 I_{m}\]$[4]$
이와 같이, 정현파 전압 $e=E_m sin \omega t$의 실효값 $E$는 $[1]$식에 따라 $E=E_{m} / \sqrt{2} \approx 0.717 E_{m}$이 된다.
발열효과 즉 소비전력량의 관점에서 교류의 실효값이란 그 발생발열량이 같아지게 되도록 환산된 직류값과 같다고 생각할 수 있다. 교류전류 $i$가 저항 $R$에 1주기간 ($T$초간) 흐를 때에 발생하는 열량를 $W$로 나타내면,
\[W=R \int_{0}^{T} i^{2} d t\]$[5]$
한편, 직류전류 $I$가 저항 $R$에 $T$초간 흐를 때의 발생열량 $W’$는,
\[W'=RI^2T\]$[6]$
이기 때문에, $W=W’$으로 두면 $[5]$, $[6]$식에 따라
\[RI^2T=R \int_{0}^{T} i^{2} d t\]$[7]$
$I$에 대해 풀면
\[I=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t}\]$[8]$
이 되고, $[2]$식에서 정의된 전류의 실효값이 된다.
다음으로, 전류의 평균값은 그 순시값의, 절댓값의, 1주기의, 평균으로 정의된다. 교류전압, 전류의 평균값을 각각 $E_a$, $I_a$라고 하면 정의에 따라 다음과 같은 식에 의해 구할 수 있다.
\[E_{a}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|e| d t\]$[9]$
\[I_{a}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|i| d t\]$[10]$
정현파 전압 $e=E_m sin w t$의 평균값은 $[9]$식에 의해
\[E_{a}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left|E_{m} \sin \omega t\right| d t=\frac{2}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} E_{m} \sin \omega t d t=\frac{2}{\pi} E_{m} \approx 0.64 E_{m} \approx 0.9 E\]$[11]$
정현파 교류의 평균값은 그 실효값의 $0.9$배 또는 최대값의 $0.64$배와 같다. 정류형 계기의 진동은 이론적으로 평균값을 나타내지만, 눈금은 실효값으로 나타낸다. 또한, 파형률 및 파고율은 다음과 같이 정의된다.
\[\text { 파형률 }=\frac{\text { 실효값 }}{\text { 평균값 }}, \quad \text { 파고율 }=\frac{\text { 최대값 }}{\text { 실효값 }}\]